Filtro de paso de banda promedio móvil

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El promedio móvil como filtro El promedio móvil se utiliza a menudo para suavizar los datos en presencia de ruido. La media móvil simple no siempre se reconoce como el filtro de respuesta de impulso finito (FIR) que es, mientras que en realidad es uno de los filtros más comunes en el procesamiento de señales. Tratarlo como un filtro permite compararlo con, por ejemplo, filtros de sinc de ventana (véanse los artículos sobre filtros de paso bajo, paso alto, paso de banda y rechazo de banda para ejemplos de los mismos). La principal diferencia con estos filtros es que el promedio móvil es adecuado para señales para las cuales la información útil está contenida en el dominio del tiempo. De las cuales las mediciones de suavizado por promediado son un excelente ejemplo. Sin embargo, los filtros windowed-sinc son fuertes en el dominio de la frecuencia. Con la ecualización en el procesamiento de audio como un ejemplo típico. Hay una comparación más detallada de ambos tipos de filtros en el dominio del tiempo frente al rendimiento de los dominios de frecuencia de los filtros. Si tiene datos para los que tanto el tiempo como el dominio de frecuencia son importantes, entonces puede que desee echar un vistazo a Variaciones en el promedio móvil. Que presenta una serie de versiones ponderadas de la media móvil que son mejores en eso. El promedio móvil de longitud (N) puede definirse como escrito tal como se implementa típicamente, con la muestra de salida actual como el promedio de las muestras (N) anteriores. Visto como un filtro, el promedio móvil realiza una convolución de la secuencia de entrada (xn) con un pulso rectangular de longitud (N) y altura (1 / N) (para hacer el área del pulso y, por tanto, la ganancia de El filtro, uno). En la práctica, es mejor tomar (N) impar. Aunque un promedio móvil también puede calcularse usando un número par de muestras, usar un valor impar para (N) tiene la ventaja de que el retardo del filtro será un número entero de muestras, ya que el retardo de un filtro con (N) Muestras es exactamente ((N-1) / 2). El promedio móvil puede entonces alinearse exactamente con los datos originales desplazándolo por un número entero de muestras. Dominio de tiempo Dado que el promedio móvil es una convolución con un pulso rectangular, su respuesta de frecuencia es una función sinc. Esto hace que sea algo así como el dual del filtro windowed-sinc, ya que es una convolución con un pulso sinc que da como resultado una respuesta de frecuencia rectangular. Es esta respuesta de frecuencia de sinc que hace que el promedio móvil sea un pobre intérprete en el dominio de la frecuencia. Sin embargo, funciona muy bien en el dominio del tiempo. Por lo tanto, es perfecto para suavizar los datos para eliminar el ruido, mientras que al mismo tiempo sigue manteniendo una respuesta de paso rápido (Figura 1). Para el ruido gaussiano blanco aditivo típico (AWGN) que se asume a menudo, las muestras del promedio (N) tienen el efecto de aumentar el SNR por un factor de (sqrt N). Dado que el ruido para las muestras individuales no está correlacionado, no hay razón para tratar cada muestra de manera diferente. Por lo tanto, el promedio móvil, que da a cada muestra el mismo peso, eliminará la cantidad máxima de ruido para una nitidez de respuesta dada. Implementación Debido a que es un filtro FIR, el promedio móvil puede implementarse a través de la convolución. Entonces tendrá la misma eficiencia (o falta de ella) como cualquier otro filtro FIR. Sin embargo, también se puede implementar recursivamente, de una manera muy eficiente. Se deduce directamente de la definición que esta fórmula es el resultado de las expresiones para (yn) y (yn1), es decir, donde observamos que el cambio entre (yn1) y (yn) es que un término extra (xn1 / N) Aparece al final, mientras que el término (xn-N1 / N) se elimina desde el principio. En aplicaciones prácticas, a menudo es posible omitir la división por (N) para cada término, compensando la ganancia resultante de (N) en otro lugar. Esta implementación recursiva será mucho más rápida que la convolución. Cada nuevo valor de (y) se puede calcular con sólo dos adiciones, en lugar de las (N) adiciones que serían necesarias para una implementación directa de la definición. Una cosa a tener en cuenta con una implementación recursiva es que se acumularán errores de redondeo. Esto puede o no ser un problema para su aplicación, pero también implica que esta implementación recursiva funcionará mejor con una implementación entera que con números de coma flotante. Esto es bastante inusual, ya que una implementación en coma flotante suele ser más simple. La conclusión de todo esto debe ser que usted nunca debe subestimar la utilidad del filtro de media móvil simple en aplicaciones de procesamiento de señales. Herramienta de diseño de filtros Este artículo se complementa con una herramienta de diseño de filtros. Experimente con diferentes valores para (N) y visualice los filtros resultantes. Pruebe ahora Respuesta de Frecuencia del Filtro de Corriente Normal La respuesta de frecuencia de un sistema LTI es la DTFT de la respuesta de impulso. La respuesta de impulso de una media móvil de L es el promedio móvil. Dado que el filtro de media móvil es FIR, la respuesta de frecuencia se reduce al finito Sum Podemos utilizar la identidad muy útil para escribir la respuesta de frecuencia como donde hemos dejado ae menos jomega. N 0 y M L menos 1. Podemos estar interesados ​​en la magnitud de esta función para determinar qué frecuencias pasan a través del filtro sin atenuación y cuáles son atenuadas. A continuación se muestra un gráfico de la magnitud de esta función para L 4 (rojo), 8 (verde) y 16 (azul). El eje horizontal varía de cero a pi radianes por muestra. Observe que en los tres casos, la respuesta de frecuencia tiene una característica de paso bajo. Un componente constante (frecuencia cero) en la entrada pasa a través del filtro sin atenuación. Ciertas frecuencias más altas, como pi / 2, son completamente eliminadas por el filtro. Sin embargo, si la intención era diseñar un filtro de paso bajo, entonces no lo hemos hecho muy bien. Algunas de las frecuencias más altas se atenúan sólo por un factor de 1/10 (para la media móvil de 16 puntos) o 1/3 (para la media móvil de cuatro puntos). Podemos hacer mucho mejor que eso. La gráfica anterior se creó mediante el siguiente código Matlab: omega 0: pi / 400: pi H4 (1/4) (1-exp (-omega4)) ./ (1-exp (-iomega)) H8 (1/8 (1-exp (-iomega8)) ./ (1-exp (-iomega)) diagrama (omega , Abs (H4) abs (H8) abs (H16) eje (0, pi, 0, 1) Copyright copy 2000- - Universidad de California, BerkeleyThe Scientist and Engineers Guide to Digital Signal Processing Por Steven W. Smith, RE. Capítulo 14: Introducción a los filtros digitales Filtros de paso alto, de paso de banda y de rechazo de banda Los filtros de paso alto, paso de banda y rechazo de banda se diseñan comenzando con un filtro de paso bajo y luego convirtiéndolo en la respuesta deseada . Por esta razón, la mayoría de las discusiones sobre el diseño del filtro sólo dan ejemplos de filtros de paso bajo. Hay dos métodos para la conversión de paso bajo a paso alto: inversión espectral y inversión espectral. Ambos son igualmente útiles. Un ejemplo de inversión espectral se muestra en 14-5. La figura (a) muestra un kernel de filtro de paso bajo llamado windowed-sinc (el tema del Capítulo 16). Este kernel de filtro tiene 51 puntos de longitud, aunque muchas de las muestras tienen un valor tan pequeño que parecen ser cero en este gráfico. La respuesta de frecuencia correspondiente se muestra en (b), que se encuentra mediante la adición de 13 ceros en el núcleo del filtro y tomando una FFT de 64 puntos. Hay que hacer dos cosas para cambiar el kernel del filtro de paso bajo en un kernel de filtro de paso alto. Primero, cambie el signo de cada muestra en el núcleo del filtro. En segundo lugar, añadir uno a la muestra en el centro de simetría. Esto da como resultado el kernel del filtro de paso alto mostrado en (c), con la respuesta de frecuencia mostrada en (d). La inversión espectral invierte la respuesta de frecuencia de arriba hacia abajo. Cambiando las bandas de paso en bandas de parada y las bandas de parada en bandas de paso. En otras palabras, cambia un filtro de paso bajo a paso alto, paso alto a paso bajo, paso de banda a banda de rechazo, o banda de rechazo a banda de paso. La Figura 14-6 muestra por qué esta modificación en dos etapas del dominio del tiempo da como resultado un espectro de frecuencia invertido. En (a), la señal de entrada, x n, se aplica a dos sistemas en paralelo. Uno de estos sistemas es un filtro de paso bajo, con una respuesta impulsiva dada por h n. El otro sistema no hace nada a la señal, y por lo tanto tiene una respuesta de impulso que es una función delta, delta n. La salida total, y n, es igual a la salida del sistema de paso total menos la salida del sistema de paso bajo. Dado que los componentes de baja frecuencia se sustraen de la señal original, sólo los componentes de alta frecuencia aparecen en la salida. De este modo, se forma un filtro de paso alto. Esto podría realizarse como una operación en dos pasos en un programa de computadora: ejecute la señal a través de un filtro de paso bajo y luego sustraiga la señal filtrada del original. Sin embargo, toda la operación puede realizarse en una etapa de señal combinando los dos núcleos de filtro. Como se describe en el capítulo 7, los sistemas paralelos con salidas añadidas se pueden combinar en una sola etapa añadiendo sus respuestas de impulso. Como se muestra en (b), el núcleo de filtro para el filtro de paso alto está dado por: delta n - h n. Es decir, cambiar el signo de todas las muestras, y luego añadir uno a la muestra en el centro de simetría. Para que esta técnica funcione, los componentes de baja frecuencia que salen del filtro de paso bajo deben tener la misma fase que los componentes de baja frecuencia que salen del sistema de paso total. De lo contrario, no se puede realizar una sustracción completa. Esto coloca dos restricciones en el método: (1) el núcleo del filtro original debe tener una simetría izquierda-derecha (es decir, una fase cero o lineal), y (2) el impulso debe añadirse al centro de la simetría. El segundo método para la conversión de paso bajo a paso alto, inversión espectral. Se ilustra en la Fig. 14-7. Igual que antes, el núcleo del filtro de paso bajo en (a) corresponde a la respuesta de frecuencia en (b). El núcleo de filtro de paso alto, (c), se forma cambiando el signo de cada otra muestra en (a). Como se muestra en (d), esto invierte el dominio de la frecuencia de izquierda a derecha. 0 se convierte en 0,5 y 0,5 en 0. La frecuencia de corte del filtro de paso bajo de ejemplo es de 0,15, dando como resultado que la frecuencia de corte del filtro de paso alto sea de 0,35. Cambiar el signo de cada otra muestra equivale a multiplicar el núcleo del filtro por una sinusoide con una frecuencia de 0,5. Como se discutió en el capítulo 10, esto tiene el efecto de desplazar el dominio de frecuencia en 0,5. Observe (b) e imagine las frecuencias negativas entre -0,5 y 0 que son de imagen especular de las frecuencias entre 0 y 0,5. Las frecuencias que aparecen en (d) son las frecuencias negativas de (b) desplazadas por 0,5. Por último, las Figs. 14-8 y 14-9 muestran cómo los núcleos de filtro de paso bajo y de paso alto pueden combinarse para formar filtros de paso de banda y de rechazo de banda. En resumen, la adición de los núcleos de filtro produce un filtro de rechazo de banda, mientras que la convolución de los núcleos de filtro produce un filtro de paso de banda. Estos se basan en la manera en que se combinan los sistemas en cascada y en paralelo, como se discute en el Capítulo 7. También se puede usar una combinación múltiple de estas técnicas. Por ejemplo, se puede diseñar un filtro de paso de banda mediante la adición de los dos núcleos de filtro para formar un filtro de paso de banda y, a continuación, utilizar inversión espectral o inversión espectral como se ha descrito anteriormente. Todas estas técnicas funcionan muy bien con pocas sorpresas.
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